Estructuras Algebraicas

ÁLGEBRA

Unidad 1 - Estructuras Algebraicas

Ley de composición interna:

Una ley de composición interna en un conjunto no vacío A consiste en una operación que asigna a cada par ordenado de elementos de A un único elemento de A como resultado de la operación. La ley interna va de A x A  A .

Es decir que:

 a  A ,  b  A  a * b = c / c  A

Propiedades de una ley de composición interna:

Ley asociativa:

Una ley interna en un conjunto no vacío A es asociativa 

 a  A ,  b  A ,  c  A : (a*b)*c = a * (b*c)

Ley conmutativa:

Una ley interna en un conjunto A es conmutativa 

a ba * b = b * a

Existencia de elemento neutro:

Se llama así a un elemento e que compuesto a izquierda y derecha con cualquier otro no lo altere.

e  A es elemento neutro para la ley * 

 e  A ,  a A / a * e = e * a = a

Existencia de elemento simétrico en una ley con neutro:

Dado un elemento a de A se llama simétrico de a y se lo denomina a’ a un elemento que compuesto a izquierda y derecha con a da el neutro.

a’  A es elemento simétrico de a para la ley * 

 a  A ,  a’  A / a * a’ = a’ * a = e

Ley de composición externa:

En este caso se opera con elementos de dos conjuntos, de tal manera que el resultado sea un elemento de uno de ellos.

vVvwwV

Estructura de Grupo :

Definición :

Sean un conjunto no vacío G, y una función *. El par (G , *) es un grupo si y sólo si * es una ley interna en G, asociativa, con neutro, y tal que todo elemento de G admite inverso respecto de *.

Si además es conmutativo, el grupo se denomina abeliano.

Semigrupo :

Definición :

El par ( A , * ), donde A   y * es una función, es un semigrupo si y sólo si * es ley interna y asociativa en A.

Estructura de Cuerpo :

Definición :

La terna ( K , + , . ) es un cuerpo si y sólo si :

1. ( K , + ) es grupo abeliano.
2. ( K - {0} , . ) es grupo abeliano.
3. El producto es distributivo respecto de la suma.

Propiedades de los cuerpos :

- Los cuerpos no admiten divisores de cero.

- En todo cuerpo vale la ley cancelativa del producto para todo elemento no nulo del mismo.

- Si b  0, entonces la ecuación bx = a admite solución única en K.

- El recíproco del opuesto de todo elemento no nulo es igual al opuesto de su recíproco.

Ley de composición interna:

Una ley de composición interna en un conjunto no vacío A consiste en una operación que asigna a cada par ordenado de elementos de A un único elemento de A como resultado de la operación. La ley interna va de A x A  A .

Es decir que:

 a  A ,  b  A  a * b = c / c  A

Propiedades de una ley de composición interna:

Ley asociativa:

Una ley interna en un conjunto no vacío A es asociativa 

 a  A ,  b  A ,  c  A : (a*b)*c = a * (b*c)

Ley conmutativa:

Una ley interna en un conjunto A es conmutativa 

a ba * b = b * a

Existencia de elemento neutro:

Se llama así a un elemento e que compuesto a izquierda y derecha con cualquier otro no lo altere.

e  A es elemento neutro para la ley * 

 e  A ,  a A / a * e = e * a = a

Existencia de elemento simétrico en una ley con neutro:

Dado un elemento a de A se llama simétrico de a y se lo denomina a’ a un elemento que compuesto a izquierda y derecha con a da el neutro.

a’  A es elemento simétrico de a para la ley * 

 a  A ,  a’  A / a * a’ = a’ * a = e

Ley de composición externa:

En este caso se opera con elementos de dos conjuntos, de tal manera que el resultado sea un elemento de uno de ellos.

vVvwwV

Estructura de Grupo :

Definición :

Sean un conjunto no vacío G, y una función *. El par (G , *) es un grupo si y sólo si * es una ley interna en G, asociativa, con neutro, y tal que todo elemento de G admite inverso respecto de *.

Si además es conmutativo, el grupo se denomina abeliano.

Semigrupo :

Definición :

El par ( A , * ), donde A   y * es una función, es un semigrupo si y sólo si * es ley interna y asociativa en A.

Estructura de Cuerpo :

Definición :

La terna ( K , + , . ) es un cuerpo si y sólo si :

1. ( K , + ) es grupo abeliano.
2. ( K - {0} , . ) es grupo abeliano.
3. El producto es distributivo respecto de la suma.

Propiedades de los cuerpos :

- Los cuerpos no admiten divisores de cero.

- En todo cuerpo vale la ley cancelativa del producto para todo elemento no nulo del mismo.

- Si b  0, entonces la ecuación bx = a admite solución única en K.

- El recíproco del opuesto de todo elemento no nulo es igual al opuesto de su recíproco.