To ÁLGEBRA
Unidad 4 -
Espacios vectoriales
Espacios
Vectoriales
Definición
:
Sean : V
un conjunto no vacío, K
un cuerpo, + y .
dos funciones, que llamaremos suma y producto, respectivamente. El
objeto ( V , + , K , . )
es un espacio vectorial si se verifican los siguientes 10 axiomas:
Axiomas
de un espacio vectorial :
- Si x V y y V, entonces (x + y) V (cerradura ante la adición).
- Si x, y y z son elementos cualesquiera de V, entonces (x + y) + z = x + (y + z) (ley de asociatividad de la adición vectorial).
- Existe un vector 0 V tal que para todo x V, x + 0 = 0 + x = x ( al 0 se le llama vector cero o identidad aditiva).
- Si x V, existe un vector -x en V tal que x + (-x) = 0 (-x recibe el nombre de inverso aditivo de x ).
- Si x y y están en V, entonces x + y = y + x (ley de conmutatividad de la adición vectorial).
- Si x V y es un escalar, entonces x V (cerradura ante la multiplicación por un escalar).
- Si x y y están en V y es un escalar, entonces (x + y) = x + y (primera ley de distribución).
- Si x V y y son escalares, entonces ( + ) x = x + x (segunda ley de distribución).
- Si x V y y son escalares, entonces (x) = () x (ley de asociatividad de la multiplicación por un escalar)
- Para todo vector x V, 1x = x (al escalar 1 se le llama identidad multiplicativa).
Ejemplo de
espacios vectoriales :
- El espacio de los números reales
Sea V = R
Se observa
que V satisface todos los axiomas de un espacio vectorial si el
conjunto de escalares se toma como R.
- Espacio vectorial trivial :
Sea V = {0}.
Es decir, V consiste unicamente en el numero 0. Como
0+0=1.0=0+(0+0)=(0+0)+0=0, se concluye que V es un espacio vectorial.
Suele llamarse espacio vectorial trivial.
- Sea V={1}. Éste no es un espacio vectorial porque no satisface el axioma de cerradura. Esto se ve fácilmente, ya que 1+1 = 2 V. Hay otros axiomas que tampoco satisface. Sin embargo, basta con demostrar que no cumple un axioma pata probar que V no es espacio vectorial.
Propiedades
de los espacios vectoriales :
- El producto del escalar 0 por cualquier vector es el vector nulo.
- El producto de cualquier escalar por el vector nulo es el vector nulo.
- Si el producto de un escalar por un vector es el vector nulo, entonces el escalar es 0 o el vector es nulo.
- El opuesto de cualquier escalar por un vector es igual al opuesto de su producto.
Subespacios
vectoriales
Concepto
:
Dados el
espacio vectorial (V , + , K , . ) y el conjunto no vacío S
V, si S es un espacio vectorial sobre el mismo cuerpo K y con las
mismas leyes de composición que en V, diremos que ( S , + , K , . )
es un subespacio de ( V , + , K , . ) o simplemente, que S es un
subespacio de V.
Condición
suficiente :
Si el
conjunto no vacío (1) S
V (2) es cerrado para la suma (3) y para el
producto por escalares (4), entonces ( S , + , K , . ) es un
subespacio de ( V , + , K , . ).
Operaciones
con subespacios
Intersección
de subespacios :
Sea {Si}
con i
I una familia de subespacios de ( V , + , K , . ). Denotaremos con S
la intersección de dicha familia, o sea, S =
Si . Resulta S un
subespacio de V.
Unión de
subespacios :
Si S1
y S2 son dos
subespacios de ( V , + , K , . ), entonces S1
S2, no es
necesariamente un subespacio de V.
Suma de
subespacios :
Sean S1
y S2 dos
subespacios de ( V , + , K , . ). Definimos el conjunto
S = { x V
/ x = x1 + x2
x1
S1
x2
S2
O sea :
S = { x
V /
x1
S1
x2
S2
x = x1 + x2
}
El conjunto
S se llama suma de los subespacios S1
y S2 y se indica
Teorema:
La suma de
dos subspacios de V es un subespacio de V.
Hipótesis )
S1 y S2
son dos subespacios de ( V , + , K , . )
S = S1
+ S2
Tesis ) ( S
, + , K , . ) es un subespacio de ( V , + , K , . )
Demostración
) Se verifica :
1. S no es
vacío, pues
0
S1
0
S2
0 + 0 = 0
S1 + S2
0
S
S
2. S es una
parte de V, por la definición de S.
3. S es
cerrado para la suma, ya que
x
S
y
S
x = x1 + x2
y = y1 + y2
x1 , y1
S1
x2 , y2
S2
x + y = ( x1
+ y1 ) + ( x2
+ y2 )
x1 + y1
S1
x2 + y2
S2
x + y
S
4. S es
cerrado para el producto por escalares, porque
K
x
S
K
x = x1 + x2
x1
S1
x2
S2
x =
x1 +
x2
x1
S1
x2
S2
x
S
Por
consiguiente, la suma de subespacios es un subespacio.
Combinaciones
lineales :
Concepto
:
Sea A = {
v1,v2,...,vn
} una familia o conjunto de vectores del espacio ( V , + , K , . ).
Entenderemos por combinación lineal de la familia A toda suma de
productos de escalares arbitrarios de K, por los vectores de A.
Definición
:
Combinación
lineal de la familia A
V es todo vector del tipo
i
vi
= 1
v1
+ 2
v2
+ ....+ n
vn
/ i
K
vi
A
Ejemplo .
Sean los
vectores:
v1
= ( -1, 0, 2) y v2
= (-1, 2, 4) en R3.
Determinamos
si los vectores v=(
-1, 1, 3) y u = ( 1,
2, 2)
son
combinación lineal de v1
y v2.
1. Para que
v sea combinación lineal de v1
y v2 deben existir
escalares 1
y 2
tales que:
1
v1 + 2
v2 = v
O sea
1
( -1, 0, 2) + 2
( -1, 2, 4) = (-1, 1, 3)
Por
definición de ley externa es
( -1
, 0, 2)
+ ( -2
, 2 2
, 4 2)
= ( -1, 1, 3)
Por suma de
ternas
(-1
-2
, 2 2
, 2 1
+ 4 2)
= ( -1, 1, 3)
Por igualdad
de ternas resulta
2
23
Entonces
=
1/2
3/2
Sustituyendo
a2 = 1/2 en la
primera ecuación, se tiene:
1/21
1/2
Como ambos
valores 1
= 1/2 y 2
= 1/2 satisfacen la tercera relación
es v= 1/2 v1
+ 1/2 v2.
O sea, v
puede expresarse como combinación lineal única de v1
y v2.
2. Si u= (
1, 2, 2), entonces procediendo análogamente se llega a
12
22
2
2 142
2
o bien
12
2
1
22
De donde
211
Al sustituir
en la tercera ecuación
-2 + 2 . 1 =
0
1
Entonces u
no es combinación lineal de v1
y v2.
Combinación lineal convexa
Cuando todos
los escalares son positivos y la sumatoria de los mismos es igual a
1, la combinación lineal es convexa.
Subespacio
generado :
Conjunto
de combinaciones lineales
Sea A un
conjunto no vacío de vectores del espacio ( V , + , K , . ).
A expensas
de A podemos formar el subconjunto de V cuyos elementos sean todas
las combinaciones lineales de los vectores de A. A este conjunto lo
denotaremos con el símbolo Ã, que se lee “ A raya “.
Ejemplo.
El conjunto
de todas las combinaciones lineales de los vectores
v1
= (1 , 0 , 1) y v2
= (0 , 1 , 1) de R3
es
à = {
121R2R
}
O sea
à =
{(12121
R 2
R }
En
consecuencia, a à pertenecen todas las ternas cuya tercera
componente es la suma de las dos primeras.
Podemos
escribir :
à = {(x1
, x2 , x3)
R3
/ x3 = x1
+ x2 }
Dependencia
e independencia lineal :
Conjunto
linealmente independiente
Se ha
demostrado que la única combinación lineal de los vectores v1
y v2,
cuyo resultado es el vector nulo, es la trivial. O sea
v1
+
v2
= 0
=
= 0
En este
caso, los vectores son las funciones de R
en R definidas por
f (t)
= et y g(t)
= et
y la función
que asigna a todo número real t, el valor 0, es el vector nulo. Este
hecho se traduce diciendo que los vectores v1
y v2
son linealmente independientes, o bien que la familia de vectores A=
{ v1
, v2}
es linealmente independiente.
Definición
:
Sea A una
familia de vectores del espacio ( V , + , K , . ). Dicha familia A
V es linealmente independiente si y sólo si la única combinación
lineal de dicha familia, cuyo resultado es el vector nulo, es la
trivial.
Ejemplo:
Dado el espacio vectorial (R3
, + , R ,
. ) determinar si los siguientes conjuntos de vectores son
linealmente independientes.
A = {(1 , 0 ,
0) , (0 , 1, 0) , (0 , 0 , 1)}
Sea
123
123
12
3
Por igualdad
de ternas resulta
123
Luego A es
linealmente independiente.
Conjunto linealmente dependiente
Definición:
La familia A
es linealmente independiente si y sólo si no es linealmente
independiente.
La familia A
es un conjunto linealmente dependiente de vectores de V si y sólo si
existe una combinación lineal no trivial de dicha familia cuyo
resultado sea el vector nulo.
Ejemplo :
Los vectores
( -2 , 4 ) y ( 1 , -2 ) son linealmente dependientes en ( R2
, + , R , . )
Sea
1
(-2 , 4) + 2
(1,-2) = (0,0)
Por
definición de producto de escalares por pares y suma de pares es
(-2 1
+ 2
, 4 1
- 2 2)
= (0,0)
Por igualdad
de pares resulta
-2 1
+ 2
= 0
4 1
- 2 2
= 0
Dividiendo
la segunda relación por -2, el sistema se reduce a la única
ecuación
-2 1
+ 2
= 0
Esta admite
infinitas soluciones, dadas por
1
= k
2
= 2 k y k
R
Sistema
de generadores :
Concepto
La familia A
es un sistema de generadores de V si y sólo si todo vector de V
puede expresarse como combinación lineal de los vectores de A. O
bien, A es un sistema de generadores de V si y sólo si el subespacio
generado por A es V. Esto se logra armando el sistemas de ecuaciones
e igualándolo a x e y
.
Ejemplo.
El conjunto
A = {(1,0) , (0,1) , (1,1)} es un sistema de generadores de R2
En efecto,
si (a,b) es cualquier vector de R2,
deben existir escalares ytales
que
= (a,b)
O sea
()
= (a,b)
Luego
=
a y
= b
En consecuencia
= a - k
,
= b - k ,
= k
k
R
Este
resultado nos dice que, efectivamente, A es un S.G. de R2,
y además, que cualquier vector del espacio puede expresarse de
infinitas maneras como Combinación lineal de los vectores de A. Por
otra parte, es fácil verificar que A constituye una familia
linealmente dependiente.
Base de
un espacio vectorial
Concepto
de base :
Sea A = {
v1, v2,...,
vn } una familia
de vectores de ( V , + , K , . ).
Definición
:
La familia A
V es una base de ( V , + , K , . ) si y sólo si es un conjunto
linealmente independiente
y sistema de generadores
de V.
A
V es una base de V
A es L.I.
y à =
V
Todo
conjunto de n vectores
linealmente independientes en Rn
es una base en Rn.
Base
canónica :
Recibe este
nombre la base conformada por los vectores columna canónicos de una
matriz identidad.
Dimensión
de un espacio vectorial
Concepto
:
Si el
espacio vectorial V tiene una base finita, entonces la dimensión
de V es el número de vectores en todas las bases y V se llama
espacio vectorial de dimensión finita.
Dimensión
de un espacio vectorial V es el número cardinal de cualquiera de sus
bases. Si V consiste únicamente en el vector nulo, diremos que su
dimensión es 0.
En ambos
casos, V es un espacio de dimensión finita.
Si [ V ] = {
v1, v2,...,
vn } es una base
de ( V , + , K , . ), escribiremos
dim
k
V = n
Ejemplo:
vimos que B= {(1;2),(2;3)}es una base de R2,
por lo tanto la dimensión de R2
es 2 por existir una base que tiene 2 vectores. En general, la
dimensión de Rn
es n .
Espacio o
subespacio generado por un conjunto de vectores
Dado un
conjunto de vectores A= {u1,
u2, ..., un}
V se denomina espacio o subespacio generado por A y se designa como
Ã, al subconjunto de V formado por todos los vectores que se pueden
expresar como combinación lineal del conjunto A.
Ejemplo:
determinar el espacio o subespacio generado por A = {(1 ; 2) , (2 ;
4)}R2
Efectuado el
sistema y resuelto el mismo vemos que el conjunto A genera el
subespacio de R2 /
x2 = 2 x1
, es decir, pares ordenados de la forma
(x1;2x1).
Ã={(x1,x2)
R2/
x2 = 2x1}.
Si los
vectores de A hubieran sido linealmente independientes, hubieran
generado al espacio vectorial R2
y no a un subespacio de éste.
Tres
vectores de R3
generan a R3
son L.I. , de lo contrario generan a un subespacio de éste y en
general n vectores de
Rn
generan a Rn
son L.I. y por lo
tanto constituyen una base
del mismo.
Ejercicio de subespacio generado
Dada la siguiente familia
de vectores del Espacio Vectorial (R4,
+, R, .)
A=
{(1,2,3,4); (4,7,8,5);
(2,3,4,7)}
Se pide :
- Hallar el subespacio vectorial generado por la familia A.
- Indicar una base de dicho subespacio vectorial.
- Indicar la dimensión del subespacio vectorial.
Armo el sistema, y lo
resuelvo por Gauss – Jordan
1 4 2 X1 1 0 0
2 7 3 X2 0 1 0 estos
resultados no sirven
3 8 4 X3 0 0 1
4 5 7 X4 0 0 0 - 7X1+
9X2– 5X3+ X4 = 0 esta es la condición del subespacio, es decir,
el subespacio generado por estos vectores es :
S =( X1, X2, X3, X4) E R4
/ - 7 X1+ 9 X2– 5 X3+ X4 = 0
Despejo cualquiera de las variables,
por ej.: X4 = 7 X1 – 9 X2 + 5 X3
Entonces el vector genérico del
subespacio es :
( X1, X2, X3, 7 X1 –
9 X2 + 5 X3 ) Respuesta 1)
Ahora lo descompongo en una suma de
vectores, uno para cada variable:
( X1, X2, X3, 7 X1 – 9 X2 + 5 X3 ) =
( X1, 0, 0, 7 X1) + (0, X2, 0, 0, - 9
X2) + (0, 0, X3, 5 X3)
(Fíjense que si suman estos 3 vectores
vuelven a la expresión anterior) .
Ahora sacan las X afuera de los
vectores, como escalares:
X1 ( 1, 0, 0, 7) + X2 ( 0, 1, 0, - 9 )
+ X3 (0, 0, 1, 5)
(Fíjense que si hacen el producto
vuelven al paso anterior)
Y ya esta, una de las bases del
subespacio es :
BASE de S.= (1, 0, 0,
7) ; (0, 1, 0, 9 ) ; (0, 0, 1, 5) Respuesta 2)
Y la
dimensión es: DIM de S = 3
(cantidad
de vectores que forman una base) Respuesta 3)
Reemplazo
de un vector en una base
Hay
que determinar que vector puede salir, pero para asegurar que el
nuevo conjunto de vectores continúa siendo base, se deben verificar
las siguientes condiciones:
- Se escribe el vector que se va a introducir como Combinación Lineal de la base.
- Se determinan los coeficientes de la C.L. y se obtienen así las coordenadas del nuevo vector respecto de la base original.
- Se determinan las posibles bases que se pueden formar teniendo en cuenta que puede sustituirse cualquier vector cuyo coeficiente en la C.L. sea distinto de 0:
Ejemplo:
Base
A= {(1,2,0), (4,3,1), (2,1,5)} queremos
introducir el vector x = (1,5,-5).
Expresamos
el vector ingresante como resultado de la C.L. de la base.
+ 4
+ 2
= 1
x
=
(1,2,0) +
(4,3,1) +
(2,1,5) = 2
+ 3
+
= 5
+ 5
= -5
Como
= 0 no puede salir (4,3,1) por lo que pueden constituirse 2 nuevas
bases:
Base 1
= {(1,2,0),(4,3,1),(1,5,-5)}
Base 2 =
{(1,5,-5),(4,3,1),(2,1,5)}
Nota : El
presente resumen ha sido realizado a partir del libro Álgebra II de
Armando O. Rojo, que forma parte de la Bibliografía Ampliatoria
recomendada por todas las Cátedras de Álgebra de la Facultad de
Ciencias Económicas de la Universidad de Buenos Aires.
Buenísimo. Envío agradecimientos a quien hizo este blog por haber dejado el libro fuente y haber hecho tan buen resumen.
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